Сфера

1. Відстань між двома точками на сфері [ правити | правити код ]

Сфера ( грец. σφαῖρα « м'яч , куля [1] ») - геометричне місце точок у просторі, рівновіддалених від деякої заданої точки (центру сфери).

Відстань від точки сфери до її центру називається радіусом сфери. Сфера радіуса 1 називається одиничною сферою.

Сфера є поверхнею обертання , Утвореної при обертанні півкола навколо свого діаметра . Площа сфери в градусній мірі з урахуванням мінливості значення розмірів дуг становить 41252,96 кв. градусів.

Сфера є окремим випадком еліпсоїда , У якого всі три осі (півосі, радіуси) рівні. Сфера є поверхнею кулі . Сфера має найменшу площу з усіх поверхонь, що обмежують даний обсяг, також з усіх поверхонь з даної площею сфера обмежує найбільший обсяг. Тому тіла сферичної форми зустрічаються в природі, наприклад, маленькі краплі води при вільному падінні набувають сферичну форму саме через мінімізацію площі поверхні силою поверхневого натягу .

Обсяг циліндра , Обсяг вписаного в нього кулі, що стосується обох його підстав, і обсяг конуса , З вершиною в центрі одного підстави циліндра і з підставою, що збігається з іншою підставою циліндра, знаходяться в співвідношенні 3: 2: 1 [2] .

Досконалість сферичної форми здавна привертало увагу мислителів і вчених, які за допомогою сфер намагалися пояснити гармонію навколишнього світу. давньогрецький учений Піфагор разом з кулястої Землею в центрі Всесвіту ввів оточує Землю віддалену кришталеву сферу, до якої прикріплені зірки, і сім ближчих обертових кришталевих сфер, до яких прикріплені Сонце, Місяць і п'ять відомих на той час планет. Ця модель згодом ускладнювалася: Евдокс Кнідський розглядав уже 27 подібних сфер, а Аристотель - 55 кришталевих сфер [3] . Уявлення про обертових небесних сферах панували принаймні до середніх віків і навіть увійшли в геліоцентричну систему світу Миколи Коперника , Який назвав свою основну працю « Про обертання небесних сфер »( лат. De revolutionibus orbium coelestium).

Небесні сфери з часів Стародавній Греції були частиною більш загальної концепції гармонії сфер про музично-астрономічному устрій світу, куди також входило поняття «музика сфер». Ця концепція також існувала як мінімум до середньовіччя. У одного з найвідоміших астрономів, Йоганна Кеплера , Сфера займала центральне місце у всій його системі релігійно-містичних уявлень, він писав: «Образ триєдиного бога є сферична поверхня, а саме: бог-батько в центрі, Бог-син - на поверхні і святий дух - в симетричному відношенні між центром і описаної навколо нього сферичної поверхнею » [4] [5] . Одне з перших значних творів Кеплера, « таємниця світобудови »( лат. Mysterium Cosmographicum), було присвячено параметрами небесних сфер, Кеплер вважав, що він відкрив чудову зв'язок між правильними многогранниками , Яких тільки п'ять, і небесними сферами, що були, по Кеплеру, описаними і вписаними сферами цих багатогранників. Уявлення про гармонію сфер зіграли велику роль при відкритті Кеплером третього закону рухів небесних тіл (у всякому разі, можуть розглядатися як стимул до пошуку астрономічних співвідношень) [6] . Однак у Кеплера небесні сфери були вже чисто математичними об'єктами, а не фізично існуючими тілами. До того часу тихо Браге показав, що рух комет , зокрема, Великий комети 1577 року , Несумісне з існуванням твердих небесних сфер [7] . Як зручна математична модель, залишилася одна небесна сфера , За допомогою якої астрономи донині представляють видимі положення зірок і планет.

Площа поверхні сфери S = ​​4 π r 2 = π d 2. {\ Displaystyle S = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2}.} Обсяг кулі, обмеженого сферою V = 4 3 π r 3. {\ Displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.} Площа сегмента сфери висоти H {\ displaystyle H} S = 2 π r H {\ displaystyle S = 2 \ pi rH} .

Рівняння сфери в прямокутній системі координат :

(X - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2, {\ displaystyle (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0} ) ^ {2} + (z-z_ {0}) ^ {2} = R ^ {2},}

де (x 0, y 0, z 0) {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} - координати центру сфери, R {\ displaystyle R} - її радіус.

Параметричне рівняння сфери з центром в точці (x 0, y 0, z 0) {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} :

{X = x 0 + R ⋅ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ, y = y 0 + R ⋅ sin ⁡ θ ⋅ sin ⁡ φ, z = z 0 + R ⋅ cos ⁡ θ, {\ displaystyle {\ begin {cases } x = x_ {0} + R \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ cos \ phi, \\ y = y_ {0} + R \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ sin \ phi, \\ z = z_ {0} + R \ cdot \ cos \ theta, \\\ end {cases}}}

де θ ∈ [0, π] {\ displaystyle \ theta \ in [0, \ pi]} і φ ∈ [0, 2 π). {\ Displaystyle \ phi \ in [0,2 \ pi).}

гауссова кривизна сфери постійна і дорівнює 1 / R².

Окружність, що лежить на сфері, центр якої збігається з центром сфери, називається великим колом (великою окружністю) сфери. Великі кола є геодезичними лініями на сфері; будь-які дві з них перетинаються в двох точках. Іншими словами, великі кола сфери є аналогами прямих на площині, відстань між точками на сфері - довжина дуги проходить через них великого кола. Розі ж між прямими на площині відповідає двогранний кут між площинами великих кіл. Багато теорем геометрії на площині справедливі і в сферичної геометрії, існують аналоги теореми синусів , теореми косинусів для сферичних трикутників . У той же час, існує чимало відмінностей, наприклад, в сферичному трикутнику сума кутів завжди більше 180 градусів, до трьох ознаками рівності трикутників додається їх рівність по трьом кутам, у сферичного трикутника може бути два і навіть три прямих кута - наприклад, у сферичного трикутника, утвореного екватором і меридіанами 0 ° і 90 °.

Відстань між двома точками на сфері [ правити | правити код ]

якщо дані сферичні координати двох точок, то відстань між ними можна знайти так:

L = R ⋅ arccos ⁡ (cos ⁡ θ 1 ⋅ cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 1 ⋅ sin ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ (φ 1 - φ 2)). {\ Displaystyle L = R \ cdot \ arccos (\ cos \ theta _ {1} \ cdot \ cos \ theta _ {2} + \ sin \ theta _ {1} \ cdot \ sin \ theta _ {2} \ cdot \ cos (\ phi _ {1} - \ phi _ {2})).}

Однак, якщо кут θ {\ displaystyle \ theta} заданий не між віссю Z і вектором на точку сфери, а між цим вектором і площиною XY (як це прийнято в земних координатах, заданих широтою і довготою), то формула буде така:

L = R ⋅ arccos ⁡ (sin ⁡ θ 1 ⋅ sin ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ 1 ⋅ cos ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ (φ 1 - φ 2)). {\ Displaystyle L = R \ cdot \ arccos (\ sin \ theta _ {1} \ cdot \ sin \ theta _ {2} + \ cos \ theta _ {1} \ cdot \ cos \ theta _ {2} \ cdot \ cos (\ phi _ {1} - \ phi _ {2})).}

В цьому випадку θ 1 {\ displaystyle \ theta _ {1}} і θ 2 {\ displaystyle \ theta _ {2}} називаються широтами , А φ 1 {\ displaystyle \ phi _ {1}} і φ 2 {\ displaystyle \ phi _ {2}} довготами .

У загальному випадку рівняння (n -1) -мірною сфери (в n-мірному евклідовому просторі ) має вигляд:

Σ i = 1 n (xi - ai) 2 = r 2, {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -a_ {i}) ^ {2} = r ^ {2 },}

де (a 1,..., a n) {\ displaystyle (a_ {1}, ..., a_ {n})} - центр сфери, а r {\ displaystyle r} - радіус.

Перетином двох n -мірних сфер є n-1 -мірним сфера, що лежить на радикальної гиперплоскости цих сфер.

В n-мірному просторі можуть попарно торкатися один одного (в різних точках) не більше n + 1 сфер.

n -мірним інверсія переводить n-1 -мірну сферу в n-1 -мірну сферу або гіперплоскость .

З тривимірної сферою пов'язана одна з задач тисячоліття - гіпотеза Пуанкаре , В якій стверджується, що будь-яке однозв'язного компактне тривимірне різноманіття без краю гомеоморфним такій сфері. Ця гіпотеза була доведена Г. Я. Перельманом на початку 2000-х років на основі результатів Річарда Гамільтона .