WikiZero - Матриця Гессе

open wikipedia design.

Гессіан функції - симетрична квадратична форма [1] , Що описує поведінку функції в другому порядку.

Для функції f {\ displaystyle f} $Для функції f {\ displaystyle f} , Двічі диференціюється в точці x ∈ R n {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ , Двічі диференціюється в точці x ∈ R n {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

H (x) = Σ i = 1 n Σ j = 1 naijxixj {\ displaystyle H (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij } x_ {i} x_ {j}} $H (x) = Σ i = 1 n Σ j = 1 naijxixj {\ displaystyle H (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij } x_ {i} x_ {j}}$

або

H (z) = Σ i = 1 n Σ j = 1 naijziz ¯ j {\ displaystyle H (z) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} z_ {i} {\ overline {z}} _ {j}} $H (z) = Σ i = 1 n Σ j = 1 naijziz ¯ j {\ displaystyle H (z) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} z_ {i} {\ overline {z}} _ {j}}$

де a i j = ∂ 2 f / ∂ x i ∂ x j {\ displaystyle a_ {ij} = \ partial ^ {2} f / \ partial x_ {i} \ partial x_ {j}} $де a i j = ∂ 2 f / ∂ x i ∂ x j {\ displaystyle a_ {ij} = \ partial ^ {2} f / \ partial x_ {i} \ partial x_ {j}} (Або a i j = ∂ 2 f / ∂ z i ∂ z ¯ j {\ displaystyle a_ {ij} = \ partial ^ {2} f / \ partial z_ {i} \ partial {\ overline {z}} _ {j}} ) І функція f {\ displaystyle f} задана на n {\ displaystyle n} -мірному матеріальному просторі R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} (або комплексному просторі C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}} ) З координатами x 1,$ (Або a i j = ∂ 2 f / ∂ z i ∂ z ¯ j {\ displaystyle a_ {ij} = \ partial ^ {2} f / \ partial z_ {i} \ partial {\ overline {z}} _ {j}} ) І функція f {\ displaystyle f} задана на n {\ displaystyle n} -мірному матеріальному просторі R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} (або комплексному просторі C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}} ) З координатами x 1, ..., x n {\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} (Або z 1, ..., z n {\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}} ). В обох випадках гессіан - квадратична форма, задана на дотичному просторі , Що не змінюється при лінійних перетвореннях змінних. Гессіаном також часто називають і визначник матриці (a i j), {\ displaystyle (a_ {ij}),} див. нижче.

Матриця цієї квадратичної форми утворена другими приватними похідними функції. Якщо все похідні існують, то

H (f) = [∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ xn ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ xn ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ xn ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ xn ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ xn 2] {\ displaystyle H (f) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} \, \ partial x_ {2 }}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} \, \ partial x_ {n}}} \\\\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} \, \ partial x_ {1}}} & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} & \ cdots & { \ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} \, \ partial x_ {n}}} \\\\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} \, \ partial x_ {1}}} & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} \, \ partial x_ {2}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} \ end {bmatrix}}} $H (f) = [∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ xn ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ xn ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ xn ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ xn ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ xn 2] {\ displaystyle H (f) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} \, \ partial x_ {2 }}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} \, \ partial x_ {n}}} \\\\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} \, \ partial x_ {1}}} & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} & \ cdots & { \ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} \, \ partial x_ {n}}} \\\\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} \, \ partial x_ {1}}} & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} \, \ partial x_ {2}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} \ end {bmatrix}}}$

визначник цієї матриці називається визначником Гессе, або просто гессіаном [ Джерело не вказано 2426 днів ].

Матриці Гессе використовуються в задачах оптимізації методом Ньютона . Повний обчислення матриці Гессе може бути важко, тому були розроблені квазіньютоновскіе алгоритми, засновані на наближених виразах для матриці Гессе. Найбільш відомий з них - алгоритм Бройде - Флетчера - Гольдфарба - Шанно .

Змішані похідні функції f - це елементи матриці Гессе, які коштують не на головній діагоналі. Якщо вони неперервні, то порядок диференціювання не важливий:

∂ ∂ xi (∂ f ∂ xj) = ∂ ∂ xj (∂ f ∂ xi) {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial f} { \ partial x_ {j}}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} \ right )} $∂ ∂ xi (∂ f ∂ xj) = ∂ ∂ xj (∂ f ∂ xi) {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial f} { \ partial x_ {j}}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} \ right )}$

Це можна також записати як

f x i x j = f x j x i, ∀ i, j ∈ {1, ..., n}. {\ Displaystyle f_ {x_ {i} x_ {j}} = f_ {x_ {j} x_ {i}}, \ quad \ forall i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}.}

В цьому випадку матриця Гессе симетрична .

якщо градієнт f {\ displaystyle f} $якщо градієнт f {\ displaystyle f} (Її векторна похідна) дорівнює нулю в деякій точці x 0 {\ displaystyle x_ {0}} , То ця точка називається критичної$ (Її векторна похідна) дорівнює нулю в деякій точці x 0 {\ displaystyle x_ {0}} , То ця точка називається критичної . Достатньою умовою існування екстремуму в цій точці є знакоопределённость гессіан f (що розуміється в даному випадку як квадратична форма), а саме:

Якщо f - векторнозначная функція, тобто

f = (f 1, f 2, ..., f n), {\ displaystyle f = (f_ {1}, f_ {2}, \ dots, f_ {n}),}

то її другі приватні похідні ніяк не матрицю, а тензор рангу 3.

поняття введено Людвігом Отто Гессе ( +1844 ), Який використовував іншу назву. Термін «гессіан» був введений Джеймсом Джозефом Сильвестром .

Каминін Л.І. Математичний аналіз. Т. 1, 2. - 2001.
Кудрявцев Л.Д «Короткий курс математичного аналізу. Т.2. Диференціальне й інтегральне числення функцій багатьох змінних. Гармонійний аналіз », ФИЗМАТЛИТ, 2002 - 424 с. - ISBN 5-9221-0185-4 . Або будь-яке інше видання.
Голубицький М., Гійемін В. Стійкі відображення і їх особливості, - М .: Мир, 1977.