WikiZero - Гіпотеза Пуанкаре

1. Визнання і оцінки [ правити | правити код ]

open wikipedia design.

Гіпотеза Пуанкаре - доведена математична гіпотеза про те, що будь-яке однозв'язного компактне тривимірне різноманіття без краю гомеоморфним тривимірної сфері . сформульована в 1904 році математиком Анрі Пуанкаре гіпотеза була доведена в серії статей 2002-2003 років Григорієм Перельманом . Після підтвердження докази математичним співтовариством в 2006 році, гіпотеза Пуанкаре стала першою і єдиною на даний момент (2019 рік) вирішеною завданням тисячоліття .

Узагальнена гіпотеза Пуанкаре - твердження про те, що будь-яке n {\ displaystyle n} -мірним різноманіття гомотопічно еквівалентно n {\ displaystyle n} -мірною сфері тоді і тільки тоді, коли воно гомеоморфним їй. Основна гіпотеза Пуанкаре є окремим випадком узагальненої гіпотези при n = 3 {\ displaystyle n = 3} . До кінця XX століття цей випадок залишався єдиним недоведеним. Таким чином доказ Перельмана завершує і доказ узагальненої гіпотези Пуанкаре.

потік Річчі - це певний рівняння в приватних похідних , Схоже на рівняння теплопровідності . Він дозволяє деформувати ріманову метрику на різноманітті, але в процесі деформації можливе утворення «сингулярностей» - точок, в яких кривизна прямує до нескінченності, і деформацію неможливо продовжити. Основний крок в доказі полягає в класифікації таких сингулярностей в тривимірному орієнтованому випадку. При підході до сингулярності потік зупиняють і роблять « хірургію »- викидають малу зв'язну компоненту або вирізують« шию »(тобто відкриту область, діффеоморфную прямому твору (0, 1) × S 2 {\ displaystyle (0,1) \ times S ^ {2}} ), А отримані дві дірки заклеюють двома кулями так, що метрика отриманого різноманіття стає досить гладкою - після чого продовжують деформацію вздовж потоку Річчі.

Процес, описаний вище, називається «потік Річчі з хірургією». Класифікація сингулярностей дозволяє зробити висновок, що кожен «викинутий кусок» діффеоморфен сферичної просторової формі .

При доказі гіпотези Пуанкаре починають з довільною римановой метрики на однозв'язного тривимірному різноманітті M {\ displaystyle M} і застосовують до нього потік Річчі з хірургією. Важливим кроком є ​​доказ того, що в результаті такого процесу «викидається» все. Це означає, що вихідне різноманіття M {\ displaystyle M} можна уявити як набір сферичних просторових форм S 3 / Γ i {\ displaystyle S ^ {3} / \ Gamma _ {i}} , З'єднаних один з одним трубками [0, 1] × S 2 {\ displaystyle [0,1] \ times S ^ {2}} . підрахунок фундаментальної групи показує, що M {\ displaystyle M} діффеоморфно зв'язковий сумі набору просторових форм S 3 / Γ i {\ displaystyle S ^ {3} / \ Gamma _ {i}} і більше того все Γ i {\ displaystyle \ Gamma _ {i}} тривіальні. Таким чином, M {\ displaystyle M} є зв'язковою сумою набору сфер, тобто сферою.

В 1900 році Пуанкаре зробив припущення, що тривимірне різноманіття з усіма групами гомологий як у сфери гомеоморфним сфері. В 1904 році він же знайшов контрприклад, званий тепер сферою Пуанкаре , І сформулював остаточний варіант своєї гіпотези. Спроби довести гіпотезу Пуанкаре привели до численних просування в топології многовидів.

Гіпотеза Пуанкаре довгий час не привертала уваги дослідників. У 1930-х роках Джон Уайтхед відродив інтерес до гіпотези, оголосивши про доведення, але потім відмовився від нього. В процесі пошуку він виявив деякі цікаві приклади однозв''язних некомпактної 3-різноманіть, негомеоморфних R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} , Прообраз яких відомий як різноманіття Уайтхеда .

Докази узагальненої гіпотези Пуанкаре для n ⩾ 5 {\ displaystyle n \ geqslant 5} отримані на початку 1960-1970-х майже одночасно Смейл , Незалежно і іншими методами Столлінгс ( англ. ) (Для n ⩾ 5 {\ displaystyle n \ geqslant 5} , Його доказ було поширене на випадки n = 5, 6 {\ displaystyle n = 5,6} Зееманом ( англ. )). Доказ значно важчого випадку n = 4 {\ displaystyle n = 4} було отримано тільки в 1982 році Фрідманом . з теореми Новикова про топологічної інваріантності характеристичних класів Понтрягіна випливає, що існують гомотопічно еквівалентні, але не гомеоморфні різноманіття в високих размерностях.

Доказ вихідної гіпотези Пуанкаре (і більш загальною гіпотези Терстона ) було знайдено Григорієм Перельманом і опубліковано їм у трьох статтях на сайті arXiv в 2002-2003 роках. Згодом, в 2006 році, доказ Перельмана було перевірено і представлено в розгорнутому вигляді як мінімум трьома групами вчених [1] . Доказ використовує модифікацію потоку Річчі (так званий потік Річчі з хірургією) і багато в чому слід планом, накресленим Гамільтоном , Який також першим застосував потік Річчі.

Визнання і оцінки [ правити | правити код ]

Відображення в засобах масової інформації [ правити | правити код ]

• У 2006 році журнал Science назвав доказ Перельманом гіпотези Пуанкаре науковим « проривом року » [3] . Це перша робота з математики, що заслужила таке звання [4] .
• У 2006 році Сільвія Назар опублікувала гучну [5] статтю « різноманітна доля », Яка розповідає про історію докази гіпотези Пуанкаре [6] .

• Perelman, Grisha (November 11, 2002), "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", arΧiv : math.DG / 0211159 [Math.DG]

• Perelman, Grisha (March 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arΧiv : math.DG / 0303109 [Math.DG]

• Perelman, Grisha (July 17, 2003), "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds", arΧiv : math.DG / 0307245 [Math.DG]